Versicherungsmathematik

Algebra und Assekuranz

Wie berechnet man eigentlich eine Versicherungsprämie? Pierre Joos, Chief Risk Officer der Allianz Deutschland AG, zeigt wie sich das Grundprinzip aus Risiken und Eintrittswahrscheinlichkeiten mit einer mathematischen Grundformel darstellen lässt.

Eine Versicherung nimmt dem einzelnen ein großes Risiko ab und macht es durch den Ausgleich im Kollektiv zu einem mathematisch handhabbaren Risiko. Die grundlegende Formel hierfür kann wie folgt dargestellt werden:

P = S + K  + κ * σ


Der Preis einer Versicherung bestimmt sich aus dem durchschnittlichen Schaden S, den anfallenden Kosten für Verkauf und Verwaltung K und den Kosten für das Risiko κ (Kappa) mal σ (Sigma). Die drei Elemente der Formel stellen wir im folgenden illustrativen Beispiel etwas genauer vor.

Formel gegen Hagel und Sturm
Nehmen wir an, es gilt ein Haus gegen Elementarschäden wie Hagel oder Sturm zu versichern. Wie bestimmt der Versicherer den für diese Versicherung notwendigen Preis?

Als erstes muss er ermitteln, wie wahrscheinlich welcher Schaden ist. Da große Naturkatastrophen wie schwere Orkane oder Hagel mit taubenei-großen Hagelkörnern in der Vergangenheit immer öfter auftraten, ist es notwendig, hier komplexe Wettermodelle und statistische Analysen einzusetzen. In diesen Modellen kann man dann Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenhöhe simulieren.

Wetter und Wahrscheinlichkeit
Machen wir eine illustrative Rechnung: Das Wetter-Modell sagt uns, dass ein großer Sturmschaden in der Gegend des zu versichernden Hauses mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Prozent pro Jahr auftreten kann. Also tritt ein solcher Schaden durchschnittlich einmal in Hundert Jahren auf.

Gleichzeitig kann man aus den statistischen Analysen entnehmen, dass dann im Mittel ein Schaden von 40.000 Euro entsteht. Wenn man nun die Schadenhöhe von 40.000 Euro durch die Schadenfrequenz (einmal in hundert Jahren) teilt, so erhält man einen durchschnittlichen Schaden S in Höhe von 400 Euro.

Nicht zu vergessen: die anfallenden Kosten
Als nächstes sind die anfallenden Kosten zu berechnen. Ähnlich wie bei Produkten, die man im Laden kaufen kann, entstehen Kosten beim Verkauf der Versicherung. Zudem hat der Versicherer auch im normalen Verlauf einer Versicherung Kosten, die durch Pflege des Vertrages in den Systemen (z.B. beim Wechsel der Kontoverbindung) oder durch gesetzlich geforderte Anforderungen (z.B. Abgabe von Berichten an die Finanzaufsicht) entstehen.

Gehen wir vereinfacht davon aus, dass 100 Euro zusätzliche Kosten K anfallen.

Das Prinzip der Diversifikation
Bleibt am Ende noch ein Ausdruck mit zwei kleinen griechischen Buchstaben übrig. Der letzte, σ, ist eine Messgröße für das Risiko, das der Versicherer durch diese Versicherung übernimmt. Falls der Versicherer nur ein Haus versichert hat, so besteht das Risiko, dass es gleich im ersten Jahr zu einem Totalschaden am Haus kommt.

Werden allerdings sehr viele Häuser in ganz Deutschland versichert, so ist das Risiko sehr gering, dass ein katastrophaler Sturm alle Orte in Deutschland gleichzeitig demoliert. Dieses Prinzip nennt man Diversifikation. Je größer die Anzahl der versicherten Objekte und je besser diese gestreut sind, desto geringer das Risiko für den Versicherer.

Wichtige Variable: Der Wettbewerb
Leider kann der Versicherer das Risiko nicht ganz weg diversifizieren. Es bleibt doch ein Restrisiko σ, das der Versicherer übernehmen muss. Für diese Übernahme von Risiken wird ein Kostensatz κ angesetzt, der vom Risiko auf den Preis angerechnet wird. Die Kosten des Risikos hängen also im Wesentlichen von der Diversifikationsfähigkeit des Versicherers ab.

Die Summe der obigen Elemente gibt nun den technischen Preis einer Versicherung an. Welcher Preis dann am Ende gezahlt werden muss, das bestimmt der Wettbewerb.